Fork me on GitHub

算法-堆排序算法

发表于 | 分类于 | 阅读次数
面试算法之----堆排序算法（摘自数据结构与算法经典问题解析190页问题11 注：原书中有好几处错误，已勘误）

堆排序是利用堆的性质进行的一种选择排序。

时间复杂度：

  • 时间复杂度：O(nlogn)
  • 空间复杂度：O（1）（就地排序，用于堆化（又称筛选）的辅助空间）

性能：

  1. 由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的。

  2. 堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成。

  3. 堆排序是一种不稳定排序。
    科普：（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前和排序后他们的相对位置不发生变化）。

  4. 即使在最坏情况堆排序的时间复杂仍然为O(nlogn)。而快速排序在最坏情况下会达到O(N^2)，所以快排在最好和平均情况下比堆排快,堆排在最坏情况下比快排快。

基本思想：

利用大（小）顶堆堆顶记录的是最大（小）关键字这一特性，使得每次从无序中选择最大（小）记录变得简单。
下面的讨论全部基于大顶堆（小顶堆同理，不再赘述）。

  1. 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

  2. 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n];

  3. 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆（堆化、筛选），然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1（原堆剩最后一个元素），则整个排序过程完成。

操作过程如下：

  1. 初始化堆：将R[1..n]构造为堆；
  2. 将当前无序区的堆顶元素R[1]同该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为新的堆（不断堆化）。

因此对于堆排序，最重要的两个操作就是构造初始堆和调整堆，其实构造初始堆事实上也是调整堆的过程，只不过构造初始堆是对所有的非叶节点都进行调整。

给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序。
首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到：

这里写图片描述

然后需要构造初始堆，则从最后一个非叶节点开始调整，调整过程如下：

以下为构造初始堆：

  1. 8和3交换，满足；

  2. 20和7交换，导致20和16不满足；
    这里写图片描述这里写图片描述

  3. 20和16交换，导致17和16不满足；

  4. 17和16交换；
    这里写图片描述这里写图片描述

  5. 完成构建（大顶堆）。

即每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。有了初始堆之后就可以进行排序了。

以下为交换元素并每步堆化（排序）：

  1. 交换3与20； 如下图：
    此时3位于堆顶不满大顶堆的性质，则需继续调整。
    交换3与17，导致3与16不满足；
    交换3与16；
    满足；
    这里写图片描述这里写图片描述这里写图片描述

  2. 交换17与3；如下图：
    此时3位于堆顶不满大顶堆的性质，则需继续调整。
    交换3与16，导致3与7不满足；
    交换3与7；
    满足；
    这里写图片描述这里写图片描述这里写图片描述

  3. 交换16与3；如下图：
    此时3位于堆顶不满大顶堆的性质，则需继续调整。
    交换3与8；
    满足；
    这里写图片描述这里写图片描述
  4. 交换3与8；如下图：
    此时3位于堆顶不满大顶堆的性质，则需继续调整。
    交换3与7；
    满足；
    这里写图片描述这里写图片描述
  5. 交换3与7；如下图：
    满足，完成排序。
    这里写图片描述

这样整个区间便已经有序了。
从上述过程可知，堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从R[1…n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从R[1…n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数。对于n个关键字序列，最坏情况下每个节点需比较logn次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。

算法实现（java）：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
	/**定义堆*/
static	class Heap{
	int count;
	public int[] Array;
	public Heap(int count){
		this.count=count;
		this.Array=new int[count];
	}
	
	/**获取左孩子的方法*/
	public int getLeft(int i){
		int left=2*i+1;
		if(this.Array==null || left>=this.count){return -1;}
		return left;
	}
	
	/**获取右孩子的方法*/
	public int getRight(int i){
		int right=2*i+2;
		if(this.Array==null || right>=this.count){return -1;}
		return right;
	}
	
	/**堆化（筛选）*/
	public void PercolateDown(int i){
		int left,right,max = 0,temp;
		
		left=this.getLeft(i);
		right=this.getRight(i);
		if(left!=-1 && this.Array[i]>=this.Array[left]){
			max=i;
		}else{
			max=left;	
		}
		if(right!=-1 &&  this.Array[right]>this.Array[max]){
			max=right;
		}
		//交换,交换完之后结束方法，由外部调用
		if(max!=-1 && max!=i){
			temp=Array[max]; 
			Array[max]=Array[i];
			Array[i]=temp;
			
			PercolateDown(max);
		}
	}
}	 	
public  static void Heapsort(int[] A,int n){
	Heap heap=new Heap(n);
	int temp;
	for(int i=0;i<n;i++){
		heap.Array[i]=A[i];
	}
	//从第一个非叶子节点开始堆化（筛选）
	for(int i=(n-1)/2;i>=0;i--){
		heap.PercolateDown(i);
	}
	//第一次堆化完成， 开始交换，最后一个数和第一个数交换一次
	for(int i=n-1;i>=0;i--){ //heap.Array[0] 存储最大元素
		temp=heap.Array[0];
		heap.Array[0]=heap.Array[i];
		heap.Array[i]=temp;
		//使用count的目的是在getleft的时候避免再去判断已经交换过（排序过）的元素
		heap.count--;
		//对第一个数不满足则再次进行堆化
		heap.PercolateDown(0);
	}
	long time1=System.nanoTime();
	for (int j : heap.Array) {
		System.out.println(j);
	}
	System.out.println(System.nanoTime()-time1);
}

测试程序：

1
2
3
4
public static void  main(String[] arg){
		int[] A=new int[]{5,14,78,2,14,53,45,1};
		Heapsort(A, A.length);
	}

打印内容如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
5
14
14
45
53
78
337776

csdn地址：http://blog.csdn.net/u012534831
github地址：https://github.com/qht1003077897
个人博客地址：https://qht1003077897.github.io
QQ：1003077897